设R为交换环(不一定有乘法单位元),若R有零因子但只有有限个零因子,证明...

1、N.Ganesan在[1]中证明：若R是具有n(≥2)个零因子的交换环，则R的元数|R|有上界n~2。本文证明，当|R|≠n~2，(n2)时，|R|的上界为n(n-2)，并给出|R|=n(n-2)时R的分类。

2、②无零因子环：环R中级不存在左零因子，也不存在右零因子，即所有属于R的a与b 满足ab=0能得出a=0或b=0。③若乘法*法和交换律，则称环为交换环。④若乘法*含有幺元，则称环是含幺环。

3、非零因子定义：非零因子就是不等于0的因式，比如极限中的非零系数，就是非零因子，也比如说把limx趋于0（x+1）代入x=0，这个因子（x+1）就是1，就是非零因子，可以先算出来。

4、如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。

5、引理：R是有单位元的交换环，R只有平凡理想，则R是域。

抽象代数:在一个有单位元的环R里,一个零因子a可能是可逆元吗?为什么...

1、在有单位元e(不为零)的环R中零因子一定是不可逆元。

2、既然要考虑可逆元，就必须要求乘法存在单位元，故以下讨论仅针对有单位元的整环。 对任意元素 ，它的所有相伴元和单位都是 a 的 平凡因子 ，其它的则是 真因子 。

3、值得一提的是，单位元和逆元的条件其实是有些 冗余的 ，在很多教材里只要求群满足结合律、存在左单位元和左逆元(或右单位元和右逆元)。现在我们来证它们和原定义的等价性，即已知对任意a，存在 ，求证 的存在性。

4、零因子：[2][4][5][6][8]可逆元：[1][3][7][9]可逆元需要与15互素即 1，2，4，7，8，11，13，14；其余均为零因子。

5、没有零因子的环，称为 整环 。整环是交换的，满足消去律的环。如果 可逆，有唯一的逆元 与之对应。记 为环 的所有可逆元的集合，这个集合是一个群。如果一个环 的非零元都可逆，即 ，那么称 为 除环 。

6、解读抽象代数的基础——群论 定义 群是一个集合 G，连同一个运算·，它结合任何两个元素a和 b而形成另一个元素，记为 a·b。符号·是对具体给出的运算，比如整数加法的一般占位符。

离散数学

离散数学是传统的逻辑学 集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。

离散数学（Discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。

那么，我们会发现《离散数学》包含的模块很多，还有高等数论、拓扑学、组合数学等等，其实他就是一个数学的综合学科，所以想要学会他不难，想学深入学很难，因为他包含的内容太多太多了。

如何学好离散数学 \x0d\x0a离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。

域中是否没有零因子?

1、数环没有零因子，但在其它环(如矩阵环)里零因子却可能存在，域中不存在有零因子。

2、那么这个多项式就存在至少一个非零且有乘法逆元的项，因此它就不是零元素。换句话说，在实系数多项式环中，存在乘法逆元，因此不存在零因子。在这种情况下，如果一个多项式不等于0，则它不可能是零元素。

3、矩阵乘法不满足消去律，或者说矩阵存在非平凡零因子。实数域上不存在非平凡的零因子，所以实数域上满足消去律，所以x=0可以得出x=0，更一般的，xy=0可以得出x=0或y=0，而由AB=0不等得出A=0或B=0。

4、由于$R$没有零因子，则$R$是一个整环。对于任意的$a \in R$，由于特征为零，所以$1+1+\cdots +1$（$n$个$1$相加）$ \neq 0$。因此，$R$中的每个非零元素都有乘法逆元，即$R$是一个域。

5、证明域：环是①交换的、②含幺的、③无零因子的、④至少含两个元素的、⑤有逆元a的逆属于R的（a属于R），则称这个环为域。

6、m必须是素数p，显然Zp是域，若m不是素数，则存在a，b≠0使ab=m=0，Zm有零因子故不是域。

模5的剩余类类环有零因子吗?

1、作同态f(x)=x mod 5。这是一个从整数环Z到模五同余类（这里先记作E）的保持所有运算的同态，所以E也是一个环。E含5个元素：0，1，2，3，4。

2、可逆元需要与15互素即 1，2，4，7，8，11，13，14；其余均为零因子。

3、体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。 理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法（筛法），知道素数有无穷多。 了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被17等整除的判别法。

4、当M为奇数时，由于素数2不是特征值，从剩余值的系数中可知，因存在着零因子：(1-2/2)=0，所以当M为奇数时表为两个奇素数之和的个数为零。

5、个。有0、10。剩余类环是有理整数环的剩余类环Z/mZ的推广。

6、把n分解质因数，求出所有非平凡因数，它们做代表元的类就是零因子 。